设在向量$\vec{X}(u^{1},u^{2})$为曲面$S$上的切向量场，则在自然标架下可以表示为

$$\vec{X} = x^{\alpha}(u^{1},u^{2})\vec{r}_{\alpha}(u^{1},u^{2})$$

向量在两个很近的点的微分为

$$\begin{align} d\vec{X}(u^{1},u^{2}) & = dx^{\alpha}\vec{r}_{\alpha} + x^{\alpha}d\vec{r}_{\alpha} \\ & = (dx^{\alpha}+x^{\beta}+\Gamma ^\alpha_{\beta\gamma}du^{\gamma})\vec{r}_{\alpha} + x^{\alpha}du^{\beta} b_{\alpha\beta}\vec{n} \end{align}$$

定义

title:协变微分
切向量场的**协变微分**$D\vec{X}$为向量的微分在曲面S切空间上的正交投影
$$
D\vec{X}(u^{1},u^{2}) = (d\vec{X}(u^{1},u^{2}))^T = (dx^{\alpha}+x^{\beta}\Gamma ^{\alpha}_{\beta\gamma}du^{\gamma})\vec{r}_{\alpha}= Dx^{\alpha} \vec{r}_{\alpha}
$$

title:定理5.1

曲面上切向量场的协变微分在曲面保长变换下不变，即如果$\sigma:S\to \tilde{S}$为保长变换，则
$$
\sigma_{*}(D\vec{X}) = D(\sigma_{*}\vec{X})
$$

协变导数：假设$\vec{X}$为沿曲线$C:u^{\alpha}=u^{\alpha}(t)$定义的切向量场，则

$$\frac{D\vec{X}(t)}{dt}= \left(\frac{d\vec{X}(t)}{dt}\right)^T$$

为向量场沿曲线的协变导数

向量场沿曲线$C$平行：$\frac{D\vec{X}(t)}{dt}=0$

沿曲线$C:u^{\alpha}=u^{\alpha}(t)$平行移动产生的切向量场：满足微分方程

$$\frac{dx^{\alpha}(t)}{dt} + \Gamma ^{\alpha}_{\beta\gamma}x^{\beta}(t) \frac{du^{\gamma}(t)}{dt} = 0$$

和初始条件$x^{\alpha}(t_{0})=x^{\alpha}_{0}$

有了协变导数之后就可以统一测地曲率表达式和平面曲线的相对曲率的表达式：

$$\kappa_{g} = \frac{ \mathrm d^2 \vec{r} }{ \mathrm d s^2 }\cdot \vec{e}_{2}$$

测地线的微分方程成为

$$\frac{D}{ds} \left( \frac{d\vec{r}(s)}{ds} \right) = 0$$

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